偏微分方程大师 | 2023年阿贝尔奖公布

微分方程组是科学家用来预测物理世界行为的工具。这些方程将一个或多个未知函数及其导数联系起来。函数通常表示物理量，导数表示它们的变化率，微分方程定义了两者之间的关系。

微分方程分为两类，一类是只有单一变量的常微分方程，另一类是有多个变量的偏微分方程。这些方程非常常见，在工程、物理学、经济学、生物学等许多学科中，都发挥着重要作用。自牛顿和莱布尼茨时代开始，它们就一直是人们进行深入研究的来源。

然而，尽管几个世纪以来许多数学家做出了巨大的努力，但关于一些关键方程的解的存在性、唯一性、规律性和稳定性的基本问题仍未解决。

在帮助我们理解偏微分方程方面，没有其他仍然在世的数学家比路易斯·卡法雷利（Luis A. Caffarelli） 的贡献更大。他引入了巧妙的新技术，展示了出色的几何洞察力，并且带来了许多开创性的成果。

今天，挪威科学和文学学院决定将2023年阿贝尔奖授予卡法雷利，以表彰他“对非线性偏微分方程的正则性理论的开创性贡献，包括自由边界问题和蒙日-安培方程”。

路易斯·卡法雷利。（图/Nolan Zunk / University of Texas at Austin）

  改变方向  

1948年，卡法雷利出生于阿根廷布宜诺斯艾利斯，在布宜诺斯艾利斯大学学习数学。1972年，他在导师卡利克斯托·卡 尔德隆（Calixto Calderon）的指导下获得博士学位。

第二年，卡法雷利前往明尼苏达大学攻读博士后。在参加了数学家汉斯·路易（Hans Lewy）关于谐波分析的系列讲座后，他改变了研究方向。卡法雷利被路易提出的“障碍问题”吸引了。

障碍问题是非线性偏微分方程领域的一个经典问题，它探讨的是当一个弹性膜被推向一个刚性障碍物时，例如当一个气球被压在墙上时，平衡位置是什么。

很快，他就开始在这个课题上取得惊人的进展，并开始探索更广泛的“自由边界”问题。之所以被称为“自由边界”，是因为这类问题所讨论的边界在一开始是未知的。比如在刚才提到的气球例子中，自由边界是气球会在哪里碰到墙壁。还有一些其他的自由边界问题的例子，比如冰融化成水，这里的自由边界是冰和水之间的交界。

1976年，他发表了六篇论文，并于1977年首次在著名的《数学学报》上发表论文：《高维自由边界的规律性》。

  唐人街散步  

1980年，卡法雷利来到纽约大学专门研究应用数学的科朗研究所。有一天，在与罗伯特·科恩（Robert Kohn）和路易斯·尼伦伯格（Louis Nirenberg）在唐人街的一次散步中，他们决定共同撰写一篇关于纳维-斯托克斯方程的论文，这是一组模拟流体动力学的偏微分方程。

纳维-斯托克斯方程。它是一组非线性偏微分方程，描述了黏性、不可压缩的流体，在给定的黏度、集体速度和外部压强下如何运动。它可以被简单理解为牛顿第二定律的流体版本，只是牛顿第二定律连接的是加速度与作用力，而纳维-斯托克斯方程则将流体速度的变化率与作用于流体上的力联系了起来。（图／原理）

这次合作的成果是1982年的论文《纳维-斯托克斯方程的合适弱解的部分规律性》，这是一篇具有里程碑意义的论文，后来获得了美国数学学会2014年斯蒂尔开创性研究贡献奖。

当尼伦伯格后来被问及如何评价卡法雷利作为一位数学家时，他回答说：“非凡的直觉，很了不起……我很难跟上他的步伐。他总能神奇地立即看到其他人看不到的。”

到80年代初，卡法雷利在数学界已经有了很高的知名度，并获得了众多著名的奖项，比如1982年的圭多·史坦穆奇亚奖，1984年的博谢奖。此外，他还是1983年在华沙举行的国际数学家大会上的发言人。

1983年至1986年期间，卡法雷利在芝加哥大学担任教授，之后他在普林斯顿高等研究院工作了十年。在此期间，他的另一个主要的工作重点是蒙日-安培方程，这是另一个著名的非线性偏微分方程。他发展了现在所谓的“卡法雷利正则理论”，该理论在其他领域有重要的应用，例如最优运输理论。

  培养学生  

卡法雷利怀念与研究生一起工作的日子，他于1994年回到科朗研究所。1997年以后，他一直在德克萨斯大学奥斯汀分校担任数学方面的西德-理查德森主席。 在那里，他除了完成其他日常工作外，还在均质化理论方面取得了令人兴奋的进展，这是一个偏微分方程研究领域，研究不同尺度的物理性质。

卡法雷利不仅在工作的深度方面非常出色，而且也非常高产。年过74岁的卡法雷利已发表的论文多达320篇，并且每年还在继续发表。他在科学界备受爱戴，曾与130多人共同撰写论文，最常与他合作的是阿夫纳·弗里德曼（Avner Friedman）。卡法雷利的论文有19000次引用，这个数字证明了他在领域内的影响力。他曾为30多名博士生提供指导，2018年，他的博士后阿莱西奥·菲加利（Alessio Figalli）获得了菲尔茨奖。

卡法雷利获得的其他奖项包括2005年罗夫·肖克奖、美国数学学会2009年斯蒂尔终身成就奖、2012年沃尔夫奖、2013年所罗门·莱夫谢茨奖和2018年邵逸夫奖。

阿贝尔委员会主席Helge Holden说：“将出色的几何洞察力与巧妙的分析工具和方法相结合，他已经并将继续对该领域产生巨大影响。”